Решите уравнение (x-1)^4-2(x-1)^2-3=0.

Задание

Решите уравнение $(x-1)^4-2(x-1)^2-3=0.$

Пусть $t=(x-1)^2$ , тогда:

$t^2-2t-3=0;$

$D=b^2-4ac=4-4 \cdot 1 \cdot (-3)=4+12=16;$

$\displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2+4}{2}=3;$

$\displaystyle t_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{2-4}{2}=-1.$

Выполним обратную замену:

Первая замена:

$t_1=(x-1)^2;$

$3=(x-1)^2;$

$3=x^2-2x+1;$

$x^2-2x+1-3=0;$

$x^2-2x-2=0;$

$D=b^2-4ac=4-4 \cdot 1 \cdot (-2)=4+8=12;$

$\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2+\sqrt{12}}{2}=1+\sqrt{3};$

$\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{2-\sqrt{12}}{12}=1-\sqrt{3}.$

Вторая замена:

$t_2=(x-1)^2;$

$-1=(x-1)^2;$

$-1=x^2-2x+1;$

$x^2-2x+1+1=0;$

$x^2-2x+2=0;$

$D=b^2-4ac=4-4 \cdot 1 \cdot 2=4-8=-4 < 0$ — корней нет.

Ответ: $1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)