Решите уравнение (x+4)^4-6(x+4)^2-7=0.

Задание

Решите уравнение $(x+4)^4-6(x+4)^2-7=0.$

Пусть $t=(x+4)^2$ , тогда:

t^2-6t-7=0;

D=b^2-4ac=36-4 \cdot 1 \cdot (-7)=36+28=64;

\displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{6+8}{2}=7;

\displaystyle t_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{6-8}{2}=-1.

Выполним обратную замену:

Первая замена:

t_1=(x+4)^2;

7=(x+4)^2;

7=x^2+8x+16;

x^2+8x+16-7=0;

x^2+8x+9=0;

D=b^2-4ac=64-4 \cdot 1 \cdot 9=64-36=28;

\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-8+\sqrt{28}}{2}=-4+\sqrt{7};

\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-8-\sqrt{28}}{12}=-4-\sqrt{7}.

Вторая замена:

t_2=(x+4)^2;

-1=(x+4)^2;

-1=x^2+8x+16;

x^2+8x+16+1=0;

x^2+8x+17=0;

$D=b^2-4ac=64-4 \cdot 1 \cdot 17=64-68=-4 < 0$ — корней нет.

Ответ: $-4+\sqrt{7}, -4-\sqrt{7}$ .

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)