Решите уравнение 1/(x-2)^2-1/(x-2)-6=0.

Задание

Решите уравнение $\displaystyle \frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0.$

ОДЗ:

(x-2)^2 \neq 0;

x-2 \neq 0;

x \neq 2.

Решим уравнение:

\displaystyle \frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0;

\displaystyle \frac{1-1 \cdot (x-2)-6 \cdot (x-2)^2}{(x-2)^2}=0;

1-x+2-6 \cdot (x^2-4x+4)=0;

1-x+2-6x^2+24x-24=0;

-6x^2+23x-21=0;

D=b^2-4ac=529-4 \cdot (-6) \cdot (-21)=25;

\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-23+5}{-12}=1,5;

\displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-23-5}{-12}=2 \frac{1}{3}.

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\displaystyle 1,5; 2 \frac{1}{3}.$

Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)