Задание
Сторона равностороннего треугольника равна 12\sqrt{3}. Найдите высоту этого треугольника.
Решение
Введем обозначения:
Треугольник ABC — равносторонний. А в равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
А медиана делит сторону пополам на которую она опущена. Значит сторона:
\displaystyle AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.Треугольник ABH является прямоугольным, т.к. BH — высота. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABH найдем биссектрису BH:
AB^2=AH^2+BH^2; (12\sqrt{3})^2=(6\sqrt{3})^2+BH^2; 244 \cdot 3=36 \cdot 3+BH^2; 432-108=BH^2; BH^2=324; BH=18.Получилось, что биссектриса треугольника равна 18.
Ответ: 18.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)