Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \displaystyle \frac{12}{13}. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.
Решение
Введем обозначения:
Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Значит \angle B=90^{\circ} и дуга AC, на которую он опирается, в два раза больше, т.е. дуга AC=180^{\circ}. Отсюда можно написать, что AC является диаметров окружности и диагональю прямоугольника.
Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Из него можно найти сторону BC:
\displaystyle sin BAC=\frac{BC}{AC};
\displaystyle \frac{12}{13}=\frac{BC}{13};
13 BC=12 \cdot 13;
13 BC=156;
BC=156 \div 13=12.
По теореме Пифагора найдем неизвестный катет AB:
AC^2=AB^2+BC^2;
13^2=AB^2+12^2;
AB^2=169-144;
AB^2=25;
AB=5.
Теперь можно найти площадь прямоугольника S = a \cdot b=5 \cdot 12=60.
Ответ: 60.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)