Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \displaystyle \frac{15}{17}. Диаметр описанной около него окружности равен 17. Найдите площадь прямоугольника.
Решение
Введем обозначения:
Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Значит \angle B=90^{\circ} и дуга AC, на которую он опирается, в два раза больше, т.е. дуга AC=180^{\circ}. Отсюда можно написать, что AC является диаметров окружности и диагональю прямоугольника.
Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Из него можно найти сторону BC:
\displaystyle sin BAC=\frac{BC}{AC};
\displaystyle \frac{15}{17}=\frac{BC}{17};
17 BC=15 \cdot 17;
17 BC=255;
BC=255 \div 17=15.
По теореме Пифагора найдем неизвестный катет AB:
AC^2=AB^2+BC^2;
17^2=AB^2+15^2;
AB^2=289-225;
AB^2=64;
AB=8.
Теперь можно найти площадь прямоугольника S = a \cdot b=8 \cdot 15=120.
Ответ: 120.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)