Даны векторы \overrightarrow{a} (4; -3) и \overrightarrow{b} (7; 24). Найдите косинус угла между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}.
Решение
Небольшая теория:
Скалярное произведение векторов \overrightarrow{a} (x_1; y_1) и \overrightarrow{b} (x_2; y_2) находится по формуле \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 x_2+y_1 y_2.
Длину вектора можно найти по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Скалярное произведение двух векторов – число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot cos \alpha.
Найдём скалярное произведение векторов:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=4 \cdot 7+(-3) \cdot 24=28-72=44.
Найдём длину векторов:
\overrightarrow{|a|}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5;
\overrightarrow{|b|}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25;
Найдём косинус угла между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}:
-44=5 \cdot 25 \cdot cos \alpha;
-44=125 \cdot cos \alpha;
cos \alpha = -44 \div 125=-0,352.
Ответ: -0,352.
Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 5) (Решебник)