Из города А в город Б выехал автобус, а через 2 со скоростью 65 км/ч следом за ним выехал автомобиль, догнал автобус в городе К и повернул обратно. Когда автомобиль вернулся в А, автобус прибыл в Б. Найдите расстояние от А до К, если расстояние между городами А и Б равно 336 км. Ответ дайте в километрах.

Решение

Для решения воспользуемся формулой $S=V \cdot t.$

Пусть $x$ км — расстояние от А до К, а $y$ км/ч — скорость автомобиля.

Составим таблицу на участке пути от А до К:

Автобус выехал на 2 часа раньше. Можно составить уравнение:

$\displaystyle \frac{x}{y}-\frac{x}{65}=2.$

Составим таблицу на участке пути для автобуса от К до Б, для автомобиля от К до А:

Когда автомобиль вернулся в А, автобус прибыл в Б, т.е. они прибыли одновременно. Можно составить уравнение:

$\displaystyle \frac{336-x}{y}=\frac{x}{65}.$

Получим следующую систему уравнений:

\displaystyle \begin{cases} \frac{x}{y}-\frac{x}{65}=2, \\ \frac{336-x}{y}=\frac{x}{65}. \end{cases}

Из второго уравнения вынесем $y:$

$\displaystyle \frac{336-x}{y}=\frac{x}{65};$

$65(336-x)=xy;$

$\displaystyle y=\frac{65(336-x)}{x}.$

Подставим $y$ в первое уравнение:

$\displaystyle \frac{x}{y}-\frac{x}{65}=2;$

$\displaystyle \frac{x}{\frac{85(174-x)}{x}}-\frac{x}{85}=\frac{1}{2};$

$\displaystyle \frac{x^2}{65(336-x)}-\frac{x}{65}=2;$

$\displaystyle \frac{x^2-x(336-x)}{65(336-x)}=2;$

$\displaystyle \frac{x^2-336x+x^2}{65(336-x)}=2;$

$\displaystyle \frac{2x^2-336x}{65(336-x)}=2;$

$2x^2-336x=2 \cdot 65(336-x);$

$2x^2-336x=43680-130x;$

$2x^2-206x-43680=0;$

$D=42436-4 \cdot 2 \cdot (-43680)=42436+349440=291876;$

$\displaystyle x_1=\frac{206-626}{4}=-\frac{420}{4}=-105$ — расстояние не может быть отрицательным;

$\displaystyle x_2=\frac{206+626}{4}=\frac{832}{4}=208.$

Ответ: $208$ .

Источник: ЕГЭ-2026 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко (вариант 8) (Решебник)