Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Решение
Введем обозначения:
Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, \angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ}.
Сумма углов в четырёхугольнике равна 360 градусам. Найдём чему равен угол AOB:
\angle A+\angle B+\angle O+\angle C=360^{\circ};
90^{\circ}+90^{\circ}+\angle O+72^{\circ}=360^{\circ};
\angle O=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}.
Треугольник ABO — равнобедренный, т.к. AO = BO = r. А у равнобедренного треугольника углы при основании равны \angle BAO=\angle ABO.
Найдём чему равен угол ABO:
\displaystyle ABO=\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=\frac{72^{\circ}}{2}=36^{\circ}.
Ответ: 36.
Источник: Открытый банк тестовых заданий ФИПИ (решение банка заданий)
Демоверсия ОГЭ по математике 2026 (демоверсия)